已知各项均为正数的数列{an}满足log2an=1+log2an-1n∈N*.n≥2.且a1=2．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式,(Ⅱ)令cn=•an.求数列{cn}的前n项和Tn,(Ⅲ)设数列{bn}满足bn=$\frac{{na n^{\;}}}{{•{2^n}}}$.是否存在正整数m.n.使得b1.bm.bn成等比数列?若存在.求出所有的m.n的值,若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知各项均为正数的数列{a_n}满足log₂a_n=1+log₂a_n-1n∈N^*，n≥2，且a₁=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=（3n-1）•a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{{na_n^{\;}}}{{（2n+1）•{2^n}}}$，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

分析（Ⅰ）由题意可得数列{$log_2^{\;}{a_n}$}是首相为$log_2^{\;}{a_1}=log_2^{\;}2=1$，公差为1的等差数列，即可求出数列{a_n}的通项公式，
（Ⅱ）利用错位相减法即可求出数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）求出数列{b_n}的通项，利用得b₁，b_m，b_n成等比数列，正整数m、n（1＜m＜n），即可得出结论．

解答解：（Ⅰ）∵对任意的n∈N^*，n≥2，$log_2^{\;}{a_n}=1+log_2^{\;}{a_{n-1}}$，
即：$log_2^{\;}{a_n}-log_2^{\;}{a_{n-1}}=1$
∴数列{$log_2^{\;}{a_n}$}是首相为$log_2^{\;}{a_1}=log_2^{\;}2=1$，公差为1的等差数列．
∴$log_2^{\;}{a_n}=1+1×（n-1）=n$，
∴a_n=2ⁿ，（n∈N^*）
（Ⅱ）令c_n=（3n-1）•a_n=（3n-1）×2ⁿ，
∴${T_n}=2×{2^1}+5×{2^2}+8×{2^3}+…+（{3n-4}）×{2^{n-1}}+（{3n-1}）×{2^n}$，
∴$2{T_n}=2×{2^2}+5×{2^3}+8×{2^4}+…+（{3n-4}）×{2^n}+（{3n-1}）×{2^{n+1}}$，
∴$-{T_n}=2×{2^1}+3×{2^2}+3×{2^3}+…+3×{2^{n-1}}+3×{2^n}-（{3n-1}）×{2^{n+1}}$，
∴$-{T_n}=6×\frac{{{2^n}-1}}{2-1}-2-（{3n-1}）×{2^{n+1}}=-（6n-8）•{2^n}-8$
∴${T_n}=（6n-8）•{2^n}+8$
（Ⅲ）b_n=$\frac{{na_n^{\;}}}{{（2n+1）•{2^n}}}$=$\frac{n}{2n+1}$，若b₁，b_m，b_n成等比数列，
则（$\frac{m}{2m+1}$）²=$\frac{1}{3}$（$\frac{n}{2n+1}$），即$\frac{{m}^{2}}{4{m}^{2}+4m+1}$=$\frac{n}{6n+3}$．
可得$\frac{3}{n}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$，
所以-2m²+4m+1＞0，解得：1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜m＜1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
又m∈n∈N^*，且m＞1，
∴m=2，此时n=12，．
故当且仅当m=2，年2．使得b₁，b_m，b_n成等比数列．

点评本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项以及错位相减法求和，正确运用数列递推式是关键，属于中档题．

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