Question

16．已知直线l：y=k（x+1）+$\sqrt{3}$与圆x²+y²=4交于A、B两点，过A、B分别做l的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|=8．

Answer 1

分析 根据直线与圆相交，圆x²+y²=4可知：圆心为（0，0），半径r=2，弦长为|AB|=4=2r，说明直线l过圆心O所以可以得到直线AB的倾斜角，求出|OC|，即可得到|CD|的长度．

解答 解：由圆的方程x²+y²=4可知：圆心为（0，0），半径r=2．
∵弦长为|AB|=4=2r，
∴可以得知直线l经过圆心O．
∴0=k（0+1）+$\sqrt{3}$，解得k=-$\sqrt{3}$，
∴直线AB的方程为：y=-$\sqrt{3}$x，
设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ=-$\sqrt{3}$，
∴θ=120°，
∴在Rt△AOC中：|CO|=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，
那么：|CD|=2|OC|=8，
故答案为：8．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．