Question

3．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），其离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且过点$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=k（x-1）与椭圆C交于R，S两点．问是否在x轴上存在一点T，使当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？若存在请求出点T，若不存在请说明理由！

Answer 1

分析 （1）由率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得a²=4b²，将$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$．代入椭圆方程，即可求得b和a的值，求得椭圆C的方程；
（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．联立椭圆方程，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a²=4b²，
则椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
将$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$代入上式：$\frac{3}{4{b}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1$，解得：b=1，
∴a=2，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
其中△=（8k²）²-4（1+4k²）（4k²-4）=3k²+1＞0恒成立，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由∠OTS=∠OTR（由题意TS，TR的斜率存在），
故k_TS+k_TR=0，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，
由R，S两点在直线y=k（x-1）上，故 y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
代入②得$\frac{k（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-t）+k（{x}_{2}-1）（{x}_{1}-t）}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$=$\frac{k[2{x}_{1}{x}_{2}-（t+1）（{x}_{1}+{x}_{2}）+2t]}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$=0，
即有2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0…（9分）
∴$\frac{8{k}^{2}-8-8{k}^{2}（t+1）+2t（1+4{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{2t-8}{1+4{k}^{2}}$，
要使得与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，
综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．

点评 本题考查曲线方的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意椭圆定义、根的判别式、韦达定理的合理运用，属于中档题．