Question

如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，EA是⊙O的切线，CB的延长线与EA相交于点E，AB=AD．求证：AB²=BE•CD．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：连结AC．由EA是⊙O的切线，根据弦切角定理可得∠EAB=∠ACB，由AB=AD．可得∠ACD=∠ACB，进而∠ACD=∠EAB，结合圆内接四边形的性质及相似三角形的判定定理，可得△CDA∽△ABE，进而根据相似三角形性质，可得AB•DA=BE•CD，最后得到AB²=BE•CD．

解答： 证明：连结AC．
∵EA是⊙O的切线，
∴∠EAB=∠ACB．
∵AB=AD，
∴∠ACD=∠ACB．
∴∠ACD=∠EAB．
∵⊙O是四边形ABCD的外接圆，
∴∠D=∠ABE．
∴△CDA∽△ABE．
∴

CD

AB

=

DA

BE

，即AB•DA=BE•CD．
∵AB=AD，
∴AB²=BE•CD．

点评：本题考查平面几何中的三角形相似以及圆的相关知识，考查推理论证能力，难度不大，属于基础题．作辅助线往往是解答平面几何证明的关键，本题也不例外．