Question

19．已知函数f（x）=xlnx-a（x-1）²-x+1．
（1）当a=0时，求f（x）的单调区间与极值；
（2）当x＞1且a≥$\frac{1}{2}$时，证明：f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）代入a值，求导，利用导函数判断函数的单调区间；
（2）求出f（x）的表达式，利用构造函数g（x），利用导函数判断函数f（x）的单调性，根据单调性证明结论．

解答 解析：（Ⅰ）a=0时，f′（x）=1+lnx-1=0，x=1，
当x＞1时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0．
故f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），
f（x）在x=1处取得极小值f（1）=0，无极大值．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=lnx-2a（x-1），设g（x）=lnx-2a（x-1），则g′（x）=$\frac{1}{x}$-2a＜0，
∴g（x）＜g（1）=0，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）＜f（1）=0．
∴f（x）＜0．（12分）

点评 考查了导函数的应用，和构造函数，根据导函数证明结论．