Question

4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＞b且tanB•tanC=-1，则$\frac{b}{c}$的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 利用差角的余弦公式，结合条件可得C=B+$\frac{π}{2}$，A＞B，确定B的范围，利用正弦定理，即可求出$\frac{b}{c}$的取值范围．

解答 解：∵tanB•tanC=-1，
∴sinB•sinC=-cosBcosC，
∴cos（B-C）=0，
∵A，B，C是△ABC的内角，a＞b
∴C=B+$\frac{π}{2}$，A＞B，
∵A+B+C=π，∴A+B+（B+$\frac{π}{2}$）=π，
∴A+2B=$\frac{π}{2}$，
∵A＞B，
∴A+2B＞3B，
∴0＜B＜$\frac{π}{6}$，
∴0＜tanB＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{b}{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=tanB∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查差角的余弦公式，正弦定理，考查学生的计算能力，确定B的范围是关键．