Question

已知复数z₁=2sinθ-

3

i，z₂=1+（2cosθ）i，θ∈[0，π]．
（1）若z₁•z₂∈R，求角θ；
（2）复数z₁，z₂对应的向量分别是

OZ1

，

OZ2

，其中O为坐标原点，求

OZ1

•

OZ2

的取值范围．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：三角函数的求值,数系的扩充和复数

分析：（1）利用复数代数形式的乘法运算整理后由虚部等于0得答案；
（2）由向量的数量积运算结合两角差的正弦整理，由θ的范围求出相位的范围后求得

OZ1

•

OZ2

的取值范围．

解答： 解：（1）∵z₁=2sinθ-

3

i，z₂=1+（2cosθ）i，
∴z₁•z₂=（2sinθ-

3

i）•[1+（2cosθ）i]
=2sinθ+2

3

cosθ+（2sin2θ-

3

）i．
由z₁•z₂∈R，
则2sin2θ-

3

=0，sin2θ=

3

2

，
又θ∈[0，π]，
∴θ=

π

6

；
（2）由z₁=2sinθ-

3

i，z₂=1+（2cosθ）i，
得：

OZ1

•

OZ2

=2sinθ-2

3

cosθ=4（

1

2

sinθ-

3

2

cosθ）=4sin(θ-

π

3

)．
∵θ∈[0，π]，∴θ-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
则

OZ1

•

OZ2

的取值范围是[-2

3

，4]．

点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．