已知f(x)=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$是奇函数．(1)求a的值,在上的单调性．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断并证明f（x）在（0，+∞）上的单调性．

分析（1）f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$是奇函数，f（-1）=-f（1），再进行验证即可得出结论；
（2）根据函数单调性的定义，利用定义法即可得到结论．

解答解：（1）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$是奇函数，
∴f（-1）=-f（1），
∴$\frac{\frac{3}{2}}{1-a}=-\frac{3}{4-a}$，
∴a=2，此时满足f（-x）=-f（x）；
（2）函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递减．
设x₁＞x₂＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（{2}^{{x}_{1}+1}-2）（{2}^{{x}_{2}+1}-2）}$＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），即函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递减．

点评本题主要考查函数的奇偶性，考查函数单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．

练习册系列答案

19．已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=$\sqrt{37}$，求最大角的度数（　　）

16．已知直线$l\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ-2cosθ，若直线l与曲线C相交与A、B两点，求线段AB的长．

3．下列各组函数表示同一函数的是（　　）

	A．	$f（x）=\sqrt{x^2}\;\;，\;\;g（x）=x$		B．	$f（x）=\sqrt{x^2}\;，\;\;g（t）=\left\{\begin{array}{l}t，t≥0\\-t，t＜0\end{array}\right.$
	C．	$f（x）=\root{3}{x^3}\;\;，\;\;g（x）=\|x\|$		D．	$f（t）=t\;，\;\;g（x）=\frac{x^2}{x}$

13．

一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为$\frac{1}{5}$．