Question

5．如图所示：一个边长为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形的边上再连接正方形，…，如此继续．若共得到255个正方形，则最小正方形的边长为$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 依次得到正方形的边长和正方形个数均成等比数列，公比分别为$\frac{\sqrt{2}}{2}$和2，利用数列的知识解出．

解答 解：第一次得到的正方形的边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，共有1个，
第二次得到的正方形边长为$\frac{1}{2}$，共有2个，
第三次得到的正方形边长为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，共有4个，
第四次得到的正方形边长为$\frac{1}{4}$，共有8个，
…
由此可归纳得：
依次得到正方形的边长成对比数列，公比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，依次得到正方形的个数成对比数列，公比为2．
设第n次得到的正方形边长为a_n，第n次得到的正方形个数为b_n．则a_n=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ，b_n=2^n-1．
令前n次得到正方形的个数为S_n，则S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．
令S_n=2ⁿ-1=255，则n=8．∴a₈=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）⁸=$\frac{1}{16}$．
故答案为$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查了归纳推理，等比数列的通项公式与前n项和公式，属于基础题．