Question

5．在△ABC中，A（-l，0），B（1，0），若△ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴（ G，H不重合）．求动点C的轨迹Γ的方程．

Answer 1

分析 由题意可设C（x，y），则G（$\frac{x}{3}$，$\frac{y}{3}$），H（x，$\frac{y}{3}$），求出$\overrightarrow{BH}$，$\overrightarrow{AC}$的坐标，再由$\overrightarrow{BH}$•$\overrightarrow{AC}$=0整理得答案．

解答 解：由题意可设C（x，y），则则G（$\frac{x}{3}$，$\frac{y}{3}$），H（x，$\frac{y}{3}$），
$\overrightarrow{BH}$═（x-1，$\frac{y}{3}$），$\overrightarrow{AC}$═（x+1，y），
∵H为垂心，∴$\overrightarrow{BH}$•$\overrightarrow{AC}$=${x}^{2}-1+\frac{{y}^{2}}{3}$=0，整理可得x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
即动点C的轨迹Г的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x•y≠0）；

点评 本题考查轨迹方程的求法，训练了平面向量在求解轨迹方程中的应用，属中档题．