Question

8．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，F是侧面BCC₁B₁内的动点，且A₁F∥平面D₁AE，记A₁F与平面BCC₁B₁所成的角为θ，下列说法正确的是个数是（　　）
①点F的轨迹是一条线段；
②A₁F与D₁E不可能平行；
③A₁F与BE是异面直线；
④$tanθ≤2\sqrt{2}$；
⑤当F与C₁不重合时，平面A₁FC₁不可能与平面AED₁平行．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 在①中，设平面AD₁E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点，分别取B₁B、B₁C₁的中点M、N，连接AM、MN、AN，推导出平面A₁MN∥平面D₁AE，从而得到F是线段MN上上的动点；在②中，由平面A₁MN∥平面D₁AE，得A₁F与D₁E不可能平行；在③中，由平面A₁MN∥平面D₁AE，BE和平面D₁AE相交，得到A₁F与BE是异面直线；在④中，推导出A₁F与平面BCC₁B₁成角的正切取值范围为[2，2$\sqrt{2}$]；在⑤中，当F与C₁不重合时，平面A₁FC₁与平面AED₁相交．

解答 解：在①中，设平面AD₁E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点，
分别取B₁B、B₁C₁的中点M、N，连接AM、MN、AN，
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN内的相交直线
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此结合A₁F∥平面D₁AE，可得直线A₁F?平面A₁MN，
即点F是线段MN上上的动点．故①正确．
在②中，由①知，平面A₁MN∥平面D₁AE，
∴A₁F与D₁E不可能平行，故②错误．
在③中，∵平面A₁MN∥平面D₁AE，BE和平面D₁AE相交，
∴A₁F与BE是异面直线，故③正确．
在④中，设直线A₁F与平面BCC₁B₁所成角为θ
运动点F并加以观察，可知当F与M（或N）重合时，A₁F与平面BCC₁B₁所成角等于∠A₁MB₁，
此时所成角θ达到最小值，满足tanθ=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{B}_{1}M}$=2，
当F与MN中点重合时，A₁F与平面BCC₁B₁所成角达到最大值，
满足tanθ=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{\frac{\sqrt{2}}{2}{B}_{1}M}$=2，
∴A₁F与平面BCC₁B₁成角的正切取值范围为[2，2$\sqrt{2}$]，即tan$θ≤2\sqrt{2}$成立．故④正确．
在⑤中，当F与C₁不重合时，平面A₁FC₁与平面AED₁相交，故⑤正确．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．