Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax（x＞0），g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=e时，两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，求b的值；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）-b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用导数的几何意义及其公共点可得两个方程，联立解出即可得出．
（II）构造函数，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（I）f'（x）=x+2e，$g'（x）=\frac{{3{e^2}}}{x}$，设公共点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x_0}^2+2e{x_0}=3{e^2}ln{x_0}+b\\{x_0}+2e=\frac{{3{e^2}}}{x_0}（*）\end{array}\right.$，
由（*）解得x₀=e或x₀=-3e（舍去），代回到第一个方程，解得$b=-\frac{e^2}{2}$．
（Ⅱ）令$F（x）=f（x）-g（x）+b=\frac{1}{2}{x^2}+2ax-3{a^2}lnx（x＞0）$，
$F'（x）=x+2a-\frac{{3{a^2}}}{x}=x+2a-\frac{{3{a^2}}}{x}=\frac{（x-a）（x+3a）}{x}$，
∵x＞0，且a＞0，
∴F（x）在（0，a）上单调递减，F（x）在（a，+∞）上单调递增，
∴F（x）在x=a取得极小值，也是最小值，则$F（a）=\frac{1}{2}{a^2}+2{a^2}-3{a^2}lna≥0$，
解得$0＜a≤{e^{\frac{5}{6}}}$．
∴实数a的取值范围是$（0，{e}^{\frac{5}{6}}]$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、几何意义、恒成立问题的等价转化，考查了推理能力与计算能力，属于难题．