Question

13．已知O是坐标原点，点M坐标为（2，1），点N（x，y）是平面区域$\left\{\begin{array}{l}x+y≤2\\ x≥\frac{1}{2}\\ y≥x\end{array}\right.$上的一个动点，则$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 由向量数量积的坐标运算公式得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=2x+y，作出题中不等式组表示的平面区域得到如图的阴影部分，
将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，当x=y=$\frac{1}{2}$时z=2x+y取得最小值，即为所求．

解答 解：∵M（2，1），N（x，y），∴目标函数z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=2x+y；
作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{x≥\frac{1}{2}}\\{y≥x}\end{array}\right.$表示的平面区域，
得到如图所示的△ABC及其内部，
其中A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（1，1），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z取得最小值；
∴z_最小值=F（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）=2×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了二元一次不等式组表示平面区域、向量数量积的坐标运算公式和简单的线性规划等知识，是基础题目．