Question

4．设函数f（x）=$a-\frac{2}{{2}^{x}+1}$．
（1）证明：不论a为何实数f（x）恒为增函数；
（2）当f（x）为奇函数时，确定实数a的值，并求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）可用增函数的定义证明，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，根据指数函数的单调性说明f（x₁）＜f（x₂）便可得到f（x）为增函数；
（2）f（x）在原点有定义，而f（x）为奇函数，从而有f（0）=0，这样可以求出a=1，从而$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，根据2^x＞0便可得到2^x+1的范围，进一步得到$\frac{1}{{2}^{x}+1}$的范围，从而得出f（x）的范围，即得出该函数的值域．

解答 解：（1）证明：f（x）的定义域为R，设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{2}}+1）（{2}^{{x}_{1}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}，{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
又${2}^{{x}_{1}}+1＞0，{2}^{{x}_{2}}+1＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴不论a为何实数f（x）恒为增函数；
（2）若f（x）为奇函数，则f（0）=a-1=0；
∴a=1；
∴$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$；
∵2^x＞0；
∴2^x+1＞1，$0＜\frac{1}{{2}^{x}+1}＜1$；
∴-1＜f（x）＜1；
∴f（x）的值域为（-1，1）．

点评 考查增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，奇函数在原点有定义时，在原点的函数值为0，以及指数函数的值域，根据不等式的性质求函数值域的方法．