Question

16．已知a_n=$\frac{1}{（\sqrt{n-1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n}+\sqrt{n+1}）（\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}）}$，S_n=$\sum_{k=1}^{n}$a_k，则S₂₀₀₉=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2009}$-$\sqrt{2010}$+1）．．

Answer 1

分析 由题意，a_n=$\frac{1}{（\sqrt{n-1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n}+\sqrt{n+1}）（\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}）}$=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$）=$\frac{1}{2}$[（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）-（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）]，利用叠加法即可得出结论．

解答 解：由题意，a_n=$\frac{1}{（\sqrt{n-1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n}+\sqrt{n+1}）（\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}）}$=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$）
=$\frac{1}{2}$[（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）-（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）]，
∴S₂₀₀₉=$\frac{1}{2}$[（1-0+$\sqrt{2}$-1+…+$\sqrt{2009}$-$\sqrt{2008}$）-（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2010}$-$\sqrt{2009}$）]
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2009}$-$\sqrt{2010}$+1）．
故答案为$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2009}$-$\sqrt{2010}$+1）．

点评 本题考查数列的求和，考查叠加法的运用，正确化简通项是关键．