Question

16．已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=3^a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
（2）由（1）可得：b_n=3^a_n=3²ⁿ⁺¹=3×9ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3×$\frac{9×（{9}^{n}-1）}{9-1}$=$\frac{27}{8}（{9}^{n}-1）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．