题目内容

设函数 $数学公式$ 的图象关于直线y=x对称．
（1）求m的值；
（2）判断并证明函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（3）若直线y=a（a∈R）与f（x）的图象无公共点，且 $数学公式$ ，求实数t的取值范围．

解：（1）∵函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线y=x对称
∴ $\text{[math]}$
∴m=1（5分）
（2）函数 $\text{[math]}$ 在区间（1，+∞）上单调递减（6分）
设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂则： $\text{[math]}$ （8分）
∴ $\text{[math]}$ 在（1，+∞）上的单调递减（10分）
（3）∵函数 $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$
∴函数 $\text{[math]}$ 的值域是（-∞，1）∪（1，+∞）
∵直线y=a（a∈R）与f（x）的图象无公共点
∴y=1，
得a=1，（12分）
又 $\text{[math]}$ ，
∵f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线y=x对称，知道原函数与反函数解析式一样，从而求出m的值；
（2）利用定义法证明，函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（3）根据f（x）的值域求其a的值，再由第二问函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减，求出t的范围；
点评：此题主要考查反函数的定义，函数单调性的证明及其应用，第三问求a的值，是利用函数f（x）的值域来求，想法比较新颖，是一道好题．