Question

19．如图，已知EA⊥平面ABC，FC⊥平面ABC，△ABC是正三角形，D是BC的中点，且AB=AE=1，CF=2．
（1）求证：AD⊥平面BCF；
（2）求直线DF与平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AD⊥FCAD⊥BC，由此能证明AD⊥平面BCF．
（2）以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，过A与BC平行的直线为y轴，AE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DF与平面BEF所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵FC⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴AD⊥FC，
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∵FC∩BC=C，∴AD⊥平面BCF．
解：（2）如图，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，
过A与BC平行的直线为y轴，AE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，2$），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），E（0，0，1），
$\overrightarrow{DF}$=（0，$\frac{1}{2}，2$），$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，1$），$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，1$），
设平面BEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，-1），
设直线DF与平面BEF所成角为θ．
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{17}{4}}•\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{85}}{85}$．
∴直线DF与平面BEF所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{85}}{85}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．