Question

9．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且S₁，2S₂，3S₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设$\frac{1}{b_n}={log_3}{a_{n+1}}•lo{g_3}{a_{n+2}}$求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比q，利用等差数列的定义和等比数列的前n项和列出关于q的方程，通过解方程求得q的值；然后由等比数列的定义求得其通项公式；
（2）利用（1）中的通项公式和对数函数的乘法计算法则求得{b_n}的通项公式，然后利用裂项相消法求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比q，
∵a₁=1，
∴S₂=1+q，${S_3}=1+q+{q^2}$．
∵2S₂-S₁=3S₃-2S₂
∴3q²-q=0．
∵q≠0，
∴$q=\frac{1}{3}$，
∴${a_n}={（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}$．
（2）$\frac{1}{b^n}={log_3}{（{\frac{1}{3}}）^n}•{log_3}{（{\frac{1}{3}}）^{n+1}}=n（{n+1}）$，
∴${b_n}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$（1-\frac{1}{2}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．