Question

20．函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x₀（x₀∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线 y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e^x-alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是[3e³，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得|e^x-alnx+c-g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1求得常数．再由题意可得f（x）=e^x-alnx+c在（2，3）上无极值点，运用导数和构造函数，转化为方程无实根，即可得到a的范围．

解答 解：由题意可得|e^x-alnx+c-g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．
令x=1，可得|e-0+c-g（1）|=|e+c-e|=|c|＞0．
由g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，可得：
f（x）=e^x-alnx+c在（2，3）上无极值点，
即有f′（x）=e^x-$\frac{a}{x}$=$\frac{x{e}^{x}-a}{x}$，
则xe^x-a=0无实数解，
由y=xe^x，可得y′=（1+x）e^x＞0，在（2，3）成立，即有函数y递增，
可得y∈（2e²，3e³），
则a≥3e³，
故答案为：[3e³，+∞）．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查函数零点问题的解法，考查转化思想的运用，注意运用导数，判断单调性，同时考查构造法的运用，属于中档题．