Question

已知函数f（x）满足f（x）=f（x+1）-f（x+2），x∈R．当x∈（0，3）时，f（x）=x²，则f（2014）=（　　）

• A、5
• B、-5
• C、-1
• D、1

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：令x取x+1代入f（x）=f（x+1）-f（x+2）得，f（x+1）=f（x+2）-f（x+3），两个式子相加后得f（x+3）=-f（x），再变形即可得函数的周期，利用周期性、恒等式、已知的解析式求出f（2014）的值即可．

解答： 解：因为函数f（x）满足f（x）=f（x+1）-f（x+2）①，
令x取x+1代入上式得，f（x+1）=f（x+2）-f（x+3）②，
①+②可得，f（x+3）=-f（x），
所以f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
则函数是以6为最小正周期的周期函数，
因为当x∈（0，3）时，f（x）=x²，
所以f（2014）=f（6×335+4）=f（4）=-f（1）=-1，
故选：C．

点评：本题考查抽象函数的周期的求法以及应用，一般利用赋值法进行求解，属于中档题．