Question

1．已知函数f（x）=sinx-λcosx的图象的一个对称中心是（$\frac{π}{3}$，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin²x图象的一条对称轴是（　　）

• A． x=-$\frac{π}{3}$
• B． x=$\frac{2π}{3}$
• C． x=$\frac{π}{6}$
• D． x=$\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 依题意，由f（$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{3}$-λcos$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$λ=0可求得λ=$\sqrt{3}$；于是可得g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，利用正弦函数的对称性得2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），对k赋值1即可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=sinx-λcosx的图象的一个对称中心是（$\frac{π}{3}$，0），
∴f（$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{3}$-λcos$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$λ=0，
解得：λ=$\sqrt{3}$；
∴g（x）=λsinxcosx+sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$（k∈Z），
当k=1时，x=$\frac{5π}{6}$，
故选：D．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换及其应用，考查正弦函数的对称性质，属于中档题．