Question

已知数列{a_n}是等比数列，a₄=e，如果a₂，a₇是关于x的方程：ex2+kx+1=0，(k＞2

e

)两个实根，（e是自然对数的底数）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设：b_n=lna_n，S_n是数列{b_n}的前n项的和，当：S_n=n时，求n的值；
（3）对于（2）中的{b_n}，设：c_n=b_nb_n+1b_n+2，而 T_n是数列{c_n}的前n项和，求T_n的最大值，及相应的n的值．

Answer 1

（1）∵a₂，a₇是关于x的方程：ex2+kx+1=0，(k＞2

e

)两个实根，
∴a₂a₇=

1

e

∴a₁²q⁷=

1

e

   ①
∵a₄=e，②

①

②

得a₁q⁴=

1

e2

=a₅
∴q=e^-3
∴数列的通项是a_n=e×（e^-3）^n-4=e^-3n+13
（2）∵b_n=lna_n=-3n+13，
∴数列{b_n}是一个等差数列
∴数列{b_n}的前n项的和S_n是

[10+(-3n+13)]n

2

=-

3

2

n2+

23

2

n，
∴S_n=n时，有

3

2

n2+

23

2

n=n，
∴n=7，n=0（舍去）
∴n=7即n的值为7．
（3）∵b₁=10，b₂=7，b₃=4，b₄=1，b₅=-2，b₆=-5
∴c₁=280，c₂=28，c₃=-8，c₄=10，从第五项开始，这个数列的项就是负数，
∵T₁=280，
T₂=308
T₃=300
T₄=310
T₅一定小于T₄，
T₆一定小于T₅，依此类推
∴T_n的最大值310，相应的n的值是2．