某校举办“校园文化艺术节 .其中一项猜奖活动.参与者需先后回答两道选择题.问题A有三个选项.问题B有四个选项.但都只有一个选项是正确的.正确回答问题A可获奖金a元.正确回答问题B可获奖金b元.活动规定:①参与者可任意选择回答问题的顺序,②如果第一个问题回答错误.该参与者猜奖活动终止.不获得任何奖金,③如果第一个问题回答正确.可以选择继续答题.若第二题也答对.则该参与者获得两道题的奖金.若第� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．某校举办“校园文化艺术节”，其中一项猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有三个选项，问题B有四个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金a元，正确回答问题B可获奖金b元，活动规定：
①参与者可任意选择回答问题的顺序；
②如果第一个问题回答错误，该参与者猜奖活动终止，不获得任何奖金；
③如果第一个问题回答正确，可以选择继续答题，若第二题也答对，则该参与者获得两道题的奖金，若第二题答错，则该参与者只能得到第一个问题奖金的一半；也可以选择放弃答题，获得第一题的奖金，猜奖活动终止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，且在第一个问题回答正确后，选择继续答题和放弃答题的可能性相等．
（Ⅰ）如果该参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金a+b元的概率；
（Ⅱ）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．

分析（Ⅰ）获得a+b元奖金的情况是先答A，回答正确，再选择答B，回条也正确，由此能求出恰好获得奖金a+b元的概率．
（Ⅱ）设先回答A时获得的奖金数为ξ元，先回答B时获得的奖金数为η元，分别求出数学期望，由此能求出结果．

解答解：（Ⅰ）获得a+b元奖金的情况是：
先答A，回答正确，再选择答B，回条也正确．
∴恰好获得奖金a+b元的概率P=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$．
（Ⅱ）设先回答A时获得的奖金数为ξ元，
ξ的分布列为：

ξ	0	$\frac{a}{2}$	a	a+b
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{24}$

Eξ=0×$\frac{2}{3}+\frac{a}{2}×\frac{1}{8}+a×\frac{1}{6}+（a+b）×\frac{1}{24}=\frac{13}{48}a+\frac{b}{24}$．
先回答B时获得的奖金数为η元，
η的分布列为：

η	0	$\frac{b}{2}$	b	a+b
P	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{24}$

Eη=$0×\frac{3}{4}+\frac{b}{2}×\frac{1}{12}+b×\frac{1}{8}+（a+b）×\frac{1}{24}=\frac{a}{24}+\frac{5}{24}b$，
由Eξ-Eη=$\frac{11}{48}a-\frac{4}{24}b＞0$，解得a＞$\frac{8}{11}b$，
∴当a＞$\frac{8}{11}b$时，先选答A题，可使获奖金额的期望较大；
当a＜$\frac{8}{11}b$时，先选答B题，可使获奖金额的期望较大；
当a=$\frac{8}{11}b$时，先选答A题与先选答B，可使获奖金额的期望较大．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．