Question

3．设α与β是关于x的方程x²+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=2．

Answer 1

分析 由题意，可设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a-bi，且m与n为实数，b≠0．由根与系数的关系得到a，b的关系，上α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值

解答 解：设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a-bi，且m与n为实数，n≠0．
由根与系数的关系可得α+β=2a=-2，α•β=a²+b²=m．
∴m＞0．
∴a=-1，m=b²+1，
∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，
∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b²=1，所以m=1+1=2；，
故答案为：2

点评 本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理、根与系数的关系，三角形是直角三角形是解题的关键，属于基础题．