Question

16．已知函数f （x）=$\frac{1-x}{e^x}$．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点和极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数y=f（x）的导数，然后求解斜率，利用点斜式求解在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）利用方程的解求函数f（x）的零点，通过导函数为0以及函数的单调性判断函数的极值点，求解函数的极值．

解答 解：（Ⅰ）因为$f'（x）=\frac{x-2}{e^x}$，f'（0）=-2．
因为f（0）=1，所以曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0．…6分
（Ⅱ）令$f（x）=\frac{1-x}{e^x}=0$，解得x=1，所以f（x）的零点为x=1．
由$f'（x）=\frac{x-2}{e^x}=0$解得x=2，
则f'（x）及f（x）的情况如下：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值$-\frac{1}{e^2}$	↗

…所以函数f（x）在x=2时，取得极小值$-\frac{1}{e^2}$…12分

点评 本题考查函数的导数的综合应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．