Question

在平面直角坐标系内有两个定点F₁、F₂和动点P，F₁、F₂坐标分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），动点P满足

|PF1|

|PF2|

=

2

2

，动点P的轨迹为曲线C，曲线C关于直线y=x的对称曲线为曲线C′．
（1）求曲线的C′方程；
（2）若直线y=x+m-3与曲线C′交于A、B两点，D的坐标为（0，-3），△ABD的面积为

7

，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P点坐标为（x，y），则

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

2

，由此能求出曲线C'的方程．
（2）该圆的圆心为D（0，-3），到直线y=x+m-3的距离d为

|m|

2

，由），△ABD的面积为

7

，能求出m的值．

解答： 解：（1）设P点坐标为（x，y），
则

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

2

，
化简得（x+3）²+y²=8，
所以曲线C的方程为（x+3）²+y²=8；…（4分）
曲线C是以（-3，0）为圆心，2

2

为半径的圆，
曲线C'也应该是一个半径为2

2

的圆，
点（-3，0）关于直线y=x的对称点的坐标为（0，-3），
所以曲线C'的方程为x²+（y+3）²=8．…（7分）
（2）该圆的圆心为D（0，-3），
到直线y=x+m-3的距离d为d=

|0-(-3)+m-3|

12+(-1)2

=

|m|

2

，…（9分）S△ABO=

1

2

×d×|AB|=

1

2

×d×2

8-d2

=

(8- m2 2 )× m2 2

=

7

…（11分）
解得

m2

2

=1，或

m2

2

=7，
所以，m=±

2

，或m=±

14

．…（13分）

点评：本题主要考查曲线的方程的求法，考查实数值的求法，考查直线与圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．