Question

9．已知函数f（x）=e^x+ax-a，g（x）=2xe^x．
（Ⅰ）讨论函数y=f（x）的单调性；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞g（x）有唯一正整数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数分类讨论单调性；
（2）分离参数，利用函数与X轴交点的位置，保证一个正整数的条件下，求解．

解答 解（Ⅰ）f'（x）=e^x+a
①当a≥0时，f'（x）＞0，所以f（x）在R上单调递增；
②当a＜0时，由f'（x）=0，得x=ln（-a）．
此时，当x∈（ln（-a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（-∞，ln（-a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减…（5分）
（Ⅱ）由f（x）＞g（x）得：a（x-1）＞e^x（2x-1）
当x=1时，不等式显然不成立，又x为正整数，
所以x＞1，$a＞\frac{{{e^x}（{2x-1}）}}{x-1}$，…（7分）
记$φ（x）=\frac{{{e^x}（{2x-1}）}}{x-1}$，则$φ'（x）=\frac{{{e^x}x（{2x-3}）}}{{{{（{x-1}）}^2}}}$，
∴φ（x）在区间$（{1\;\;，\;\;\frac{3}{2}}）$上单调递减，在区间$（{\frac{3}{2}\;\;，\;\;+∞}）$上单调递增，…（10分）
且$φ（{\frac{3}{2}}）=4{e^{\frac{3}{2}}}＜a$，所以$\left\{\begin{array}{l}φ（2）＜a\\ φ（3）≥a\end{array}\right.$，
解得$3{e^2}＜a≤\frac{{5{e^3}}}{2}$，
综上所述，a的取值范围为 $（{3{e^2}\;\;，\;\;\frac{{5{e^3}}}{2}}）$．…（12分）

点评 本题考查了含参数函数单调性，及已知不等式解的情况求参数范围，属于难题．