Question

17．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆ρ=2cosθ与圆ρ=sinθ交于O，A两点．
（Ⅰ）求直线OA的斜率；
（Ⅱ）过O点作OA的垂线分别交两圆于点B，C，求|BC|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}ρ=2cosθ\\ ρ=sinθ\end{array}\right.$，得2cosθ=sinθ，化简即可得出k_OA．
（Ⅱ）设A的极角为θ，tanθ=2，则$sinθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，把$B（{{ρ_1}，θ-\frac{π}{2}}）$，代入ρ=2cosθ得ρ₁．把$C（{{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}}）$，代入ρ=sinθ得ρ₂，利用|BC|=ρ₁+ρ₂，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}ρ=2cosθ\\ ρ=sinθ\end{array}\right.$，得2cosθ=sinθ，tanθ=2，∴k_OA=2．
（Ⅱ）设A的极角为θ，tanθ=2，则$sinθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
则$B（{{ρ_1}，θ-\frac{π}{2}}）$，代入ρ=2cosθ得${ρ_1}=2cos（{θ-\frac{π}{2}}）=2sinθ=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．
$C（{{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}}）$，代入ρ=sinθ得${ρ_2}=sin（{θ+\frac{π}{2}}）=cosθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴$|{BC}|={ρ_1}+{ρ_2}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}+\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\sqrt{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程的应用、斜率计算、弦长计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．