Question

7．已知a＞b＞1，且2log_ab+4log_ba=9，则函数f（x）=|b²x-a|的单调递增区间为[1，+∞）．

Answer 1

分析 可由条件得到$\frac{2}{lo{g}_{b}a}+4lo{g}_{b}a=9$，根据a＞b＞1即可解出log_ba=2，从而有a=b²，$\frac{a}{{b}^{2}}=1$，这便可得到f（x）=b²|x-1|，根据一次函数的单调性便可得出f（x）的单调递增区间．

解答 解：由2log_ab+4log_ba=9得，$\frac{2}{lo{g}_{b}a}+4lo{g}_{b}a=9$；
∴$4（lo{g}_{b}a）^{2}-9lo{g}_{b}a+2=0$；
解得$lo{g}_{b}a=2，或\frac{1}{4}$；
∵a＞b＞1；
∴log_ba=2；
∴a=b²；
∴$\frac{a}{{b}^{2}}=1$；
∴f（x）=|b²x-a|=b²|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}（x-1）}&{x≥1}\\{-{b}^{2}（x-1）}&{x＜1}\end{array}\right.$；
∴f（x）的单调递增区间为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评 考查对数的换底公式，一元二次方程的解法，对数函数的单调性，以及对数式和指数式的互化，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及一次函数的单调性．