Question

6．已知抛物线C的焦点F与椭圆3x²+4y²=3的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作互相垂直的两条直线分别交抛物线C于A，M和N，B，求四边形ABMN的面积S的最小值及S最小值时对应的两条直线方程．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆方程的标准形式，求得右焦点坐标，设抛物线的方程为y²=2px，求得p=1，即可得到所求方程；
（2）设过点F的直线方程为y=k（x-$\frac{1}{2}$），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得k²x²-（k²+2）x+$\frac{{k}^{2}}{4}$=0，由此利用韦达定理，弦长公式，结合已知条件能求出四边形ABMN面积的最小值及直线方程．

解答 解：（1）椭圆3x²+4y²=3，即为x²+$\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}}$=1，
可得右焦点F为（$\frac{1}{2}$，0），
设抛物线的方程为y²=2px，即有$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，
可得p=1，
抛物线的方程为y²=2x；
（2）设过点F的直线方程为y=k（x-$\frac{1}{2}$），
A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得k²x²-（k²+2）x+$\frac{{k}^{2}}{4}$=0，
由韦达定理，得x₁+x₂=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，
∴|AM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（1+\frac{2}{{k}^{2}}）^{2}-1}$=2+$\frac{2}{{k}^{2}}$，
同理，|BN|=2+2k²，
∴四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{2}{{k}^{2}}$）（2+2k²）=2（2+k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）
≥2（2$+2\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}$）=8，
当且仅当k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±1时，取等号，
四边形ABMN面积的最小为8，此时直线的方程为y=±（x-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．