Question

5．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为4的菱形，AA₁=2$\sqrt{6}$，BD⊥BB₁，∠BAD=60°，∠A₁AC=45°，点E、F分别是线段AA₁，BB₁的中点．
（I）求证：平面BDE∥平面A₁CF；
（Ⅱ）求三棱锥B-ADE的体积．

Answer 1

分析 （I）（方法一）连接EF，证明BE∥A₁F，CF∥DE，即可证明平面BDE∥平面A₁CF；
（方法二）设AC∩BD=O，连接EO，同方法一证明BE∥A₁F，OE∥A₁C，即可证明平面BDE∥平面A₁CF；
（Ⅱ）（方法一）连接A₁O，过点E作EP∥A₁O，与AC交于P点，证明△AOA₁为Rt△，A₁O⊥AO，BD⊥A₁O，BD∩AC=O，可得A₁O⊥平面ABCD，利用等体积法求三棱锥B-ADE的体积；
（方法二）过点E作EP⊥AC交AC于点P，证明EP⊥平面ABCD，利用等体积法求三棱锥B-ADE的体积．

解答 （I）证明：（方法一）连接EF，
由已知可得：AA₁$\underline{\underline∥}$BB₁，∵点E、F分别是线段AA₁，BB₁的中点，
∴A₁E$\underline{\underline∥}$BF，∴四边形BEA₁F为平行四边形，
∴BE∥A₁F，
同理：四边形CFED为平行四边形，∴CF∥DE，…（2分）
∵BE?平面BDE，DE?平面BDE，BE∩DE=E，CF?平面A₁CF，A₁F?平面A₁CF，CF∩A₁F=F，
∴平面A₁FC∥平面BDE．…（4分）
（方法二）设AC∩BD=O，连接EO，
同方法一证明BE∥A₁F，…（2分）
∵O、E分别为AC₁，AA₁的中点，∴OE∥A₁C，
∵OE?平面BDE，BE?平面BDE，OE∩BE=ECF?平面A₁CF，A₁F?平面A₁CF，CF∩A₁F=F，
∴平面A₁FC∥平面BDE．…（4分）
（Ⅱ）解：（方法一）连接A₁O，过点E作EP∥A₁O，与AC交于P点，
由已知可得：$BO=2，AO=2\sqrt{3}，BD⊥AC$，
在△AA₁O中，${（{A_1}O）^2}={（A{A_1}）^2}+{（AO）^2}-2A{A_1}•AO•cos{45°}$
=${（2\sqrt{6}）^2}+{（2\sqrt{3}）^2}-2×2\sqrt{6}×2\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=12$，∴${A_1}O=2\sqrt{3}$，
∴△AOA₁为Rt△，A₁O⊥AO，…（6分）
又∵BD⊥BB₁，AA₁∥BB₁，∴BD⊥AA₁，AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，A₁O?平面ACC₁A₁
∴BD⊥A₁O，BD∩AC=O，∴A₁O⊥平面ABCD，…（9分）
∵EP∥A₁O，且点E为AA₁的中点，∴$EP⊥平面ABCD，且EP=\sqrt{3}$，
∴${V_{E-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•EP=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}×\sqrt{3}=4$，…（11分）
∴V_B-ADE=V_E-ABD=4．∴三棱锥B-ADE的体积为4．…（12分）
（方法二）∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
∵BB₁∥AA₁，BD⊥BB₁，∴BD⊥AA₁，
∵AC∩AA₁=A，∴BD⊥平面AA₁C₁C
又∵BD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面AA₁C₁C
∵平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，过点E作EP⊥AC交AC于点P，∵EP?平面AA₁C₁C，∴EP⊥平面ABCD，$在Rt△AEP中，∠A{A_1}C=4{5°}，AE=\frac{1}{2}A{A_1}$，∴$EP=\sqrt{3}$，
∴${V_{B-ADE}}={V_{E-ABD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×\sqrt{3}•sin{60°}=4$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查平面与平面平行的判断及棱锥的体积，考查推理分析与运算能力，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题．