Question

已知函数，

（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（3）当时，证明：.

 

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先对函数进行求导，根据函数h（x）在[2，3]上是减函数，可得到其导函数在[2，3]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围；（2）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x∈（0，e]时g（x）有最小值3；（3）结合（2）知的最小值为3，只须证明即可，令，则在上单调递增，∴的最大值为 故，即得证.

【解析】
（1）令，则，

（1分））∵在上是减函数，

∴在上恒成立，即在上恒成立 （2分）

而在上是减函数，∴的最小值为

（4分）

（2）假设存在实数，使有最小值是3，∵，

若，则，∴在上为减函数，的最小值为

∴与矛盾， （5分）

若时，令，则

当，即，在上单调递减，在上单调递增

，解得 （7分）

当，即时，在上单调递减

∴与矛盾， （9分）

（3）∵，由整理得， （10分）

而由（2）知 的最小值为3，只须证明即可 （11分））

令，则在上单调递增，

∴的最大值为（12分）

故，即 （14分）

（接11分处另解， 即证，即证，

令，则，求得从而得证）.

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求闭区间上函数的最值．