Question

14．已知圆心坐标为$（1，\sqrt{3}）$的圆M与y轴及直线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x相切于A、B两点，另一圆N₁与圆M外切（圆N₁在圆M的斜上方），且与y轴及直线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x分别切于C、D两点．（如图）
（1）求圆N₁的方程．
（2）求线段AC的长．
（3）仿N₁作一系列圆N_k（k≥2）圆N_k与圆N_k-1外切，（圆N_k在圆N_k-1的斜上方）与y轴及y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x相切，圆N_k的圆心坐标为（x_k，y_k），求数列{x_k}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用圆的定义及性质求解；（2）两点间的间距离公式求解；（3）根据切点的规律特征，找出相邻两切点间递推关系，利用数列的知识求解．

解答 解：（1）设图N₁的圆心${N_1}（a，b）（b＞\frac{{\sqrt{3}a}}{3}）$∵圆N₁与y轴相切∴r=a①∵圆N₁与$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$相切∴$\frac{{|{\sqrt{3}a-3b}|}}{{{{\sqrt{3}}^2}+{3^2}}}=a$②
又圆m的半径r₁=1，圆心$m（1，\sqrt{3）}$|N₁m|=r₁+r=1+r，即$\sqrt{{{（a-1）}^2}+（b-{{\sqrt{3）}}^2}=1+a}$③
由①②③$a=3，b=3\sqrt{3}$∴圆N₁的方程为：${（x-3）^2}+{（y-3\sqrt{3}）^2}=3$…（4分）
（2）由已知可得$A（0，\sqrt{3}）$，$C（0，3\sqrt{3}）$∴$|{AC}|=3\sqrt{3}-\sqrt{3}+2\sqrt{3}$…（6分）
（3）圆N_k，N_k-1与$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$相切∴可证${y_k}=\sqrt{3}{x_k}$，N_k（x_k，y_k）即$（{x_k}，\sqrt{3}{x_k}）$，N_k-1（x_k-1，y_k-1）即$（{x_{k-1}}，\sqrt{3}{x_{k-1}}）$，
又圆$N_k^{\;}$与圆$N_{k-1}^{\;}$外切∴|N_kN_k-1|=r_kr_k-1，又圆$N_k^{\;}$与y轴相切∴r_k=x_k
即$\sqrt{（{x_k}-{x_{k-1}}）2+（\sqrt{3}{x_k}-\sqrt{3}{x_k}_{-1}）2}={x_k}+{x_{k-1}}$
化简证2|x_k-x_k-1|=x_k+x_k-1
又x_k＞x_k-1∴$\frac{x_k}{{{x_{k-}}_1}}=3$∴{x_k}是以x₁=3为首项，公比为3的等比数列∴x_k=3×3^k-1=3 ^k…（12分）

点评 本题考查了圆的方程，两点间的间距离公式及数列的实际应用，属于中档题．