Question

10．在三棱锥A-BCD中，AB=AC=1，AD=2，CD=$\sqrt{3}$，∠BAC=$\frac{π}{3}$，cos∠BAD=$\frac{1}{4}$，求二面角A-BC-D的大小．

Answer 1

分析 根据三角形的勾股定理以及余弦定理证明平面ABC⊥平面BCD即可．

解答 解：∵AB=AC=1，∠BAC=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC是正三角形，取BC的中点O，
则AO⊥BC，且AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OC=$\frac{1}{2}$，
∵AB=1，AD=2，cos∠BAD=$\frac{1}{4}$，
∴BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=1+4-2×$1×2×\frac{1}{4}$=1+4-1=4，
即BD=2，
∵BC=AC=1，BD=2，CD=$\sqrt{3}$，
∴满足BC²+CD²=BD²，即CD⊥BC，
∵AC=1，AD=2，CD=$\sqrt{3}$，
∴满足AC²+CD²=AD²，即CD⊥AC，
∵BC∩AC=C，∴CD⊥平面ABC，
∵CD?平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
即二面角A-BC-D的大小为90°．

点评 本题主要考查二面角的求解，根据条件结合勾股定理证明线面垂直以及面面垂直是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．