Question

5．如图，在单位正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，E，F，G分别是AD，BC₁，A₁B的中点．
（1）求证：EF∥平面C₁CDD₁；
（2）求证：EG⊥平面A₁BC₁．

Answer 1

分析 （1）取CC₁的中点M，连结FM、MD，通过证明FM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC$\stackrel{∥}{=}$ED，可得四边形FMDE为平行四边形，进而证明FE∥MD，即可判定EF∥平面C₁CDD₁；
（2）以A为原点，以AD，AB，AA₁为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，分别求得$\overrightarrow{GE}$，$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的坐标，通过证明$\overrightarrow{GE}$•$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=0，$\overrightarrow{GE}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，即证明GE⊥BC₁，GE⊥A₁B，进而证明EG⊥平面A₁BC₁．

解答 证明：（1）取CC₁的中点M，连结FM、MD，
∵在单位正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，E，F，G分别是AD，BC₁，A₁B的中点，
∴FM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC$\stackrel{∥}{=}$ED，可得四边形FMDE为平行四边形，
∵FE∥MD，
∵FE?平面C₁CDD₁；MD?C₁CDD₁；
∴EF∥平面C₁CDD₁；
（2）如图，以A为原点，以AD，AB，AA₁为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得：E（$\frac{1}{2}$，0，0），G（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），A₁（0，0，1），B（0，1，0），C₁（1，1，1），
可得：$\overrightarrow{GE}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（1，0，1），
可得：$\overrightarrow{GE}$•$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=$\frac{1}{2}×0+（-\frac{1}{2}）×1$+（-$\frac{1}{2}$）×（-1）=0，即有GE⊥A₁B，
$\overrightarrow{GE}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×1$+（-$\frac{1}{2}$）×0+（-$\frac{1}{2}$）×1=0，即有GE⊥BC₁，
由于：A₁B∩BC₁=B，A₁B，BC₁?平面A₁BC₁．
所以：EG⊥平面A₁BC₁．

点评 本题考查面面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．