Question

5．已知直线l：y=-ex+a与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b≥0）有一个公共点M，e为椭圆的离心率，直线l与x轴和y轴的交点分别为A、B，且$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AB}$．
（Ⅰ）若点A（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）、B（0，2），求椭圆方程；
（II）若e=$\frac{1}{3}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （I）把A，B坐标代入直线方程求出a，e，再根据a，b，c，e的关系求出b即可得出椭圆方程；
（II）根据离心率公式，用a表示出b，得出椭圆方程，与直线方程联立求出M，A，B的坐标得出$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AB}$的坐标即可求出λ的值．

解答 解：（I）∵A，B是直线l的上的点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{-\frac{4\sqrt{3}}{3}e+a=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{e=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
又$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}}\end{array}\right.$，∴b²=1．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（II）∵e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$，∴c=$\frac{1}{3}$a，∴b²=a²-c²=$\frac{8}{9}$a²．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{9y}^{2}}{8{a}^{2}}=1$．直线l的方程为y=-$\frac{1}{3}$x+a．
∴A（3a，0），B（0，a），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{9{y}^{2}}{8{a}^{2}}=1}\\{y=-\frac{1}{3}x+a}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{a}{3}$，y=$\frac{8}{9}a$．
∴M（$\frac{a}{3}$，$\frac{8a}{9}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{8a}{3}$，$\frac{8a}{9}$），$\overrightarrow{AB}$=（-3a，a），
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{8}{9}$$\overrightarrow{AB}$，即λ=$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．