Question

20．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且f（-x）=-f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$，
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明；
（3）当k取何值时，方程f（x）=k在[-1，1]上有解．

Answer 1

分析 （1）设x∈（-1，0）则-x∈（0，1）结合f（-x）=-f（x），及x∈（0，1）时，$f（x）=\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$，可求x∈（-1，0）时得f（x），在f（-x）=-f（x）中可求f（0）=0
（2）利用函数的单调性的定义证明即可．
（3）利用基本不等式求出函数的值域，然后求解k的范围．

解答 解：（1）设x∈（-1，0）则-x∈（0，1）
∵?x∈R，f（-x）=-f（x），且x∈（0，1）时，$f（x）=\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$，
∴x∈（-1，0）时，有f（x）=-f（-x）=-$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=-$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$．
在f（-x）=-f（x）中，令x=0，f（-0）=-f（0）⇒f（0）=0．
综上：当x∈（-1，1）时，有：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}，x∈（0，1）}\\{0，x=0}\\{-\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$．
（2）f（x）在（0，1）上是减函数，
证明：设0＜x₁＜x₂＜1则x₂-x₁＞0，0＜x₁+x₂＜2，∴${2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞1，${2}^{{x}_{2}}＞{2}^{{x}_{1}}$．
∴f（x2）-f（x1）=$\frac{{2}^{{x}_{2}}}{{4}^{{x}_{2}+1}}$-$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}-1）}{（{4}^{{x}_{1}}+1）（{4}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，1）上是减函数．
（3）由已知可得：$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$=k，k=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$=$\frac{1}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}}$，x∈[-1，1]，2^x∈[$\frac{1}{2}$，2]，$\frac{1}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当x=0时，表达式取得最大值，当x=±1时，k=$\frac{2}{5}$，
方程f（x）=k在[-1，1]上有解，k∈[$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查了利用函数的性质求解函数的解析式，解题中不要漏掉x=0时的函数得解析式，利用函数的单调性的定义证明函数得单调性．