Question

侧棱长为2

3

a的正三棱锥V-ABC的侧棱间的夹角为40°，过顶点A作截面AEF，截面AEF的最小周长为（　　）

• A．2

  2

  a
• B．6a
• C．4a
• D．12

  3

  a

Answer 1

分析：画出几何体的图形，推出截面周长最小值的情形，确定展开图的有关的角，利用余弦定理求出距离即可．

解答：解：如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面AEF的周长最小，就是侧面展开图中AG的距离，
因为侧棱长为2

3

a的正三棱锥V-ABC的侧棱间的夹角为40°，∠AVG=120°，
所以由余弦定理可知AG²=VA²+VG²-2VA•VGcos120°
=(2

3

a)2+(2

3

a)2- 2×2

3

a×2

3

a×(-

1

2

)
=3(2

3

a)2．
AG=6a．
故选B．

点评：本题是中档题，考查几何体的侧面展开图距离的最小值问题，余弦定理的应用，考查空间想象能力，计算能力，转化思想．