Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=$\frac{（1-2n）{3}^{n}}{n（n+1）}$，试用数学归纳法证明：S_n=3-$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$．

Answer 1

分析 直接利用数学归纳法的证明步骤证明即可．

解答 证明：①当n=1时，S₁=3-$\frac{{3}^{1+1}}{1+1}$=3-$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$．a₁=$\frac{（1-2）•{3}^{1}}{1×（1+1）}$=-$\frac{3}{2}$，S₁=a₁，等式成立；
②当n=k时，等式成立即：S_k=3-$\frac{{3}^{k+1}}{k+1}$．
当n=k+!时，
S_k+1=3-$\frac{{3}^{k+1}}{k+1}$+$\frac{[1-2（k+1）{]3}^{k+1}}{（k+1）（k+2）}$
=3-$\frac{{（k+2）3}^{k+1}+（2k+1）{3}^{k+1}}{（k+1）（k+2）}$
=3-$\frac{{3}^{k+2}}{k+2}$，这就是说n=k+1时，等式也成立．
由①②可知，数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=$\frac{（1-2n）{3}^{n}}{n（n+1）}$，S_n=3-$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$成立．

点评 本题考查数学归纳法的应用，考查化简整理和推理能力，属于中档题．