Question

（本小题满分13分）直三棱柱中,,点在上．

（Ⅰ）若是中点,求证:平面;

（Ⅱ）当时,求二面角的余弦值．

 

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）二面角的余弦值为．

【解析】

试题分析：（1）若是中点,求证:平面；证明线面平行，只需证明线线平行，而证明线线平行可利用三角形的中位线平行，或平行四边形的对边平行，本题由是中点 ，可用三角形的中位线平行，故连接交于点,连接,则,从而可证；（2）求二面角的余弦值，可用向量法，注意到三条直线两两垂直，故以为坐标原点，射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，即可求出二面角的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）连接交于点,连接,

因为直三棱柱中侧面为矩形,所以

为的中点,又是中点,

于是,且面 , AC1?平面B1CD

所以平面; （6分）

（Ⅱ）由知,即,

又直三棱柱中面,于是以为原点建立空间

直角坐标系如右图所示,于是,

又,由平面几何易知,

显然平面的一个法向量为,

又设平面的一个法向量为,则由

,得,

解得,取,则,设二面角的平面角为,

则,又由图知 为锐角,

所以其余弦值为． （13分）

考点：线面平行的判定，二面角．