Question

8．已知函数f（x）=e^ax，g（x）=-x²+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线．设h（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；
（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x₁，x₂∈[0，1]，都有|h（x₁）-h（x₂）|≤e-1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求得f（x）和g（x）的导数，由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=f（0）}\\{f′（0）=g′（0）}\end{array}\right.$即可求得c的值及a、b的关系；
（Ⅱ）写出h（x）的表达式，求导，构造辅助函数F（x）=h′（x），由?a∈R，F′（x）＞0，即可判断h′（x）的单调性，求得h′（x）的零点，并根据h′（x）判断出h（x）的单调性；
（Ⅲ）由（II）知当x∈[0，1]时，h（x）是增函数，将问题转化为：h（x）_max-h（x）_min=e^a-a≤e-1，即当a≥0时，G（a）=e^a-a-（e-1）≤0，求得函数的单调性，求得a的取值范围．

解答 解：（I）∵函数f（x）=e^ax，g（x）=-x²+bx+c，
∴函数f′（x）=ae^ax，g′（x）=-2x+b．
曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=f（0）}\\{f′（0）=g′（0）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a=b}\end{array}\right.$，
∴c=1，a=b；…（4分）
（II）由已知，h（x）=f（x）-g（x）=e^ax+x²-ax-1．
∴h′（x）=ae^ax+2x-a，
设F（x）=ae^ax+2x-a，所以F′（x）=a²e^ax+2，
?a∈R，F′（x）＞0，所以h′（x）在（-∞，+∞）上为单调递增函数．…（6分）
由（I）得，f′（0）=g′（0）所以h′（0）=f′（0）-g′（0）=0，即0是h′（x）的零点．
所以，函数h（x）的导函数h′（x）有且只有一个零点0．…（7分）
所以h′（x）及h（x）符号变化如下，

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
h（x）	-	0	+
h′（x）	↘	极小值	↗

所以函数h′（x）的单调递减区间为（-∞，0），单调递增区间为（0，+∞）．…（9分）
（III）由（II）知当x∈[0，1]时，h（x）是增函数．
对于任意x₁，x₂∈[0，1]，都有|h（x₁）-h（x₂）|≤e-1，等价于h（x）_max-h（x）_min=h（1）-h（0）=e^a-a≤e-1，
等价于当a≥0时，G（a）=e^a-a-（e-1）≤0，
∵G′（a）=e^a-1≥0，
∴G（a）在[0，+∞）上是增函数，
又G（1）=0，所以a∈[0，1]．…（13分）

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了计算能力和分析问题的能力，属于难题．