设a＞0.b＞0.c＞0.且a+b+c=1.求证:8abc≤．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

1．设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求证：8abc≤（1-a）（1-b）（1-c）．

分析由条件a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，可得（1-a）（1-b）（1-c）=（b+c）（a+c）（a+b），运用二元基本不等式即可得证．

解答证明：a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，
可得（1-a）（1-b）（1-c）=（b+c）（a+c）（a+b）
≥2$\sqrt{bc}$•2$\sqrt{ac}$•2$\sqrt{ab}$=8abc，
当且仅当a=b=c取得等号，
即有8abc≤（1-a）（1-b）（1-c）．

点评本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查推理能力，属于基础题．

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如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB₁=$\sqrt{2}$，M为线段B₁D₁的中点．
（1）求证：MB⊥AC
（2）求三棱锥D₁-ACB₁的体积．

12．已知抛物线y²=ax（a＞0），经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．

9．设a，b，c都是正数，求证：a+b+c≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2c}$+$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}}{2a}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2b}$．

16．已知抛物线C：x²=8y．AB是抛物线C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ．

6．抛物线y=4x²上的一点M到焦点的距离为4，则点M的纵坐标为（　　）

$\frac{63}{16}$

13．求证：1+$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$$+…+\frac{1}{{2}^{n}}$＞1$+\frac{n}{2}$（n≥2，n∈N^•）

10．设a，b，c∈R⁺．求证：
（1）ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）≥6abc；
（2）（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b+c}$）≥4．

11．用数学归纳法证明1+a+a²+…+aⁿ⁺¹=$\frac{1-{a}^{n+2}}{1-a}$（a≠1，n∈N^*），在验证n=1成立时，左边的项是（　　）