Question

16．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{x-2y-2≤0}\\{x+y-2≤0}\end{array}\right.$，若z=x-ay（a＞0）的最大值为4，则a=3．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，分类代入目标函数求解．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{x-2y-2≤0}\\{x+y-2≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{x-2y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（-2，-2），由图得B（2，0）．
化目标函数z=x-ay（a＞0）为y=$\frac{x}{a}-\frac{z}{a}$．
当直线y=$\frac{x}{a}-\frac{z}{a}$过A或B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值．
把A（-2，-2）代入z=-2+2a=4，得a=3，符合题意；
把B（2，0）代入z=2≠4．
∴a=3．
故答案为：3．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，属中档题．