已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.F2.过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于A.B两点.|AB|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$.点P是椭圆C上的动点.且cos∠F1PF2的最小值为$\frac{3}{5}$．(1)求椭圆C的方程,的直线l与椭圆相交于M.N两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于A，B两点，|AB|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，点P是椭圆C上的动点，且cos∠F₁PF₂的最小值为$\frac{3}{5}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（-2，0）的直线l与椭圆相交于M，N两点，求$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范围．

分析（Ⅰ）依题意|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，∠F₁PF₂最大时余弦值为$\frac{3}{5}$，此时点P在上顶点处点处，$\frac{2{a}^{2}-4{c}^{2}}{2{a}^{2}}=\frac{3}{5}$，解出a，b即可；
（Ⅱ）当直线l不与x轴重合时，设其方程为x=my-2，
与椭圆C的方程联立得（4m²+5）-16my-4=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则y₁+y₂=$\frac{16m}{4{m}^{2}+5}$，y₁y₂=$\frac{-4}{4{m}^{2}+5}$
$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（my₁-3）（my₂-3）=（m²+1）y₁y₂-3m（y₁+y₂）=$\frac{-4（{m}^{2}+1）}{4{m}^{2}+5}-\frac{48{m}^{2}}{4{m}^{2}+5}+9$
当l与x轴重合时，M，N即为椭圆左右顶点，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=-（a+c）（a-c）

解答解：（Ⅰ）∵过F₂且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于A，B两点，|AB|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，∴$\frac{2{b}^{2}}{a}=\frac{8}{\sqrt{5}}$，
∵点P是椭圆C上的动点，且cos∠F₁PF₂的最小值为$\frac{3}{5}$．即∠F₁PF₂最大时余弦值为$\frac{3}{5}$，此时点P在上顶点处，∴$\frac{2{a}^{2}-4{c}^{2}}{2{a}^{2}}=\frac{3}{5}$，
解得a=$\sqrt{5}$，b=2，c-1
椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；…（4分）
（Ⅱ）当直线l不与x轴重合时，设其方程为x=my-2，
与椭圆C的方程联立得（4m²+5）-16my-4=0，…（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则y₁+y₂=$\frac{16m}{4{m}^{2}+5}$，y₁y₂=$\frac{-4}{4{m}^{2}+5}$
$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（my₁-3）（my₂-3）=（m²+1）y₁y₂-3m（y₁+y₂）=$\frac{-4（{m}^{2}+1）}{4{m}^{2}+5}-\frac{48{m}^{2}}{4{m}^{2}+5}+9$
=-4+$\frac{61}{4{m}^{2}+5}$$∈（-4，\frac{41}{5}]$…（10分）
当l与x轴重合时，M，N即为椭圆左右顶点，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=-（a+c）（a-c）=-4；
综上，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范围：[-4，$\frac{41}{5}$]．…（12分）