Question

16．每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情．2015年中秋节期间，小鲁在自己的微信校友群，向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包，发放的规则为：每次发放1个，每个人抢到的概率相同．
（1）若小鲁随机发放了3个红包，求甲至少得到1个红包的概率；
（2）若丁因有事暂时离线一段时间，而小鲁在这段时间内共发放了3个红包，其中2个红包中各有5元，1个红包有10元，记这段时间内乙所得红包的总钱数为X元，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“甲至少得1红包”为事件A，由已知利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．
（2）由题意知X可能取值为0，5，10，15，20，分别求出相应的概率，由此能求出X分布列和E（X）．

解答 解（1）设“甲至少得1红包”为事件A，由题意得：
$P（A）=C_3^1×\frac{1}{4}×{（\frac{3}{4}）^2}+C_3^2×{（\frac{1}{4}）^2}×\frac{3}{4}+C_3^3×{（\frac{1}{4}）^3}×{（\frac{3}{4}）^0}=\frac{37}{64}$…（4分）
（2）由题意知X可能取值为0，5，10，15，20．…（5分）
$\begin{array}{l}P（X=0）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}\\ P（X=5）=C_2^1×\frac{1}{3}×{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{8}{27}\\ P（X=10）={（\frac{1}{3}）^2}×\frac{2}{3}+{（\frac{2}{3}）^2}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\\ P（X=15）=C_2^1×{（\frac{1}{3}）^2}×\frac{2}{3}=\frac{4}{27}\\ P（X=20）={（\frac{1}{3}）^3}=\frac{1}{27}…（10分）\end{array}$
∴X的分布列为：

X	0	5	10	15	20
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{1}{27}$

E（X）=$0×\frac{8}{27}+5×\frac{8}{27}$+$10×\frac{2}{9}+15×\frac{4}{27}$+$20×\frac{1}{27}$=$\frac{20}{3}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．