Question

（本题满分16分）已知函数，（为常数，为自然对数的底）．

（1）令，，求和；

（2）若函数在时取得极小值，试确定的取值范围；

（3）在（2）的条件下，设由的极大值构成的函数为，试判断曲线只可能与直线、（，为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．

Answer 1

（1），; （2）;（3）曲线只可能与直线相切.

【解析】

试题分析：（1）.时, ,根据导数的运算法则将其求导即可. （2）先将求导可得.求导数等于0的根.比较两根的大小.根据两根的大小即的取值范围讨论两侧导数的符号,判断是否为极小值点. （3）由（2）可得时.即.先求导, 令,再求,讨论导数的符号,导数正得增区间,导数负得减区间.根据函数的单调性可求函数的值域. 根据导数的几何意义可知此值域即为切线斜率的值域.直线的斜率为，直线的斜率为,看两直线斜率是否在此值域内即可.

试题解析：【解析】
（1），

时, .. 4分

（2）

，令，得或，

当时，恒成立，此时单调递减；

当时，，若，则，若，则，

是函数的极小值点； 8分

当时，，若，则，若，则，

此时是函数的极大值点，

综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是 10分

（3）由（Ⅰ）知，且当时，，

因此是的极大值点，，

于是 12分

，

令，

则恒成立，即在是增函数， 14分

所以当时，，即恒有，

又直线的斜率为，直线的斜率为，

所以由导数的几何意义知曲线只可能与直线相切 16分.

考点：用导数研究函数的性质.