题目内容

6．对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f[f（x0）]=x0，则称x0为函数f（x）的二阶不动点，
（1）设f（x）=2x+3，求f（x）的二阶不动点．
（2）若f（x）是定义在区间D上的增函数，且x0为函数f（x）的二阶不动点，求证：x0也必是函数f（x）的一阶不动点；
（3）设f（x）=ex+x+a，a∈R，若f（x）在[0，1]上存在二阶不动点x0，求实数a的取值范围．

分析 （1）若f（x）=2x+3，则f[f（x）]=4x+9，由f[f（x）]=x，能求出函数f（x）=2x+3的二阶不动点．
（2）由题意f[f（x0]=x0，记f（x0）=t，则f（t）=x0，若t＜x0，与假设t＜x0相矛盾；若t＞x0，与假设t＞x0相矛盾；从而f（x0）=x0，由此能证明x0也必是函数f（x）的一阶不动点．
（3）函数f（x）=ex+x+a在R上单调递增，若f（x）在[0，1]上存在二阶不动点x0，则f（x）在[0，1]上也必存在一阶不动点x0；推导出方程ex+x+a=x在[0，1]上有解，由此能出a的取值范围．

解答 解：（1）若f（x）=2x+3，则f[f（x）]=2（2x+3）+3=4x+9，…（1分）
由f[f（x）]=x，得4x+9=x，解得x=-3，…（2分）
∴函数f（x）=2x+3的二阶不动点为x=-3，…（3分）
证明：（2）∵x0是函数f（x）的二阶不动点，
∴f[f（x0]=x0，…（4分）
记f（x0）=t，则f（t）=x0，
若t＜x0，则由f（x）在区间D上为增函数，
有f（t）＜f（x0），即x0＜t，这与假设t＜x0相矛盾；…（5分）
若t＞x0，则由f（x）在区间D上为增函数，
有f（t）＞f（x0），即x0＞t，这与假设t＞x0相矛盾；…（6分）
∴t=x0，即f（x0）=x0，
∴x0是函数f（x）的一阶不动点，命题得证；   …（7分）
解：（3）函数f（x）=ex+x+a在R上单调递增，
则由（2）可知，若f（x）在[0，1]上存在二阶不动点x0，
则f（x）在[0，1]上也必存在一阶不动点x0；
反之，若f（x）在[0，1]上存在一阶不动点x0，即f（x0）=x0，
那么f[f（x0]=f（x0）=x0，故f（x）在[0，1]上也存在二阶不动点x0．…（8分）
所以函数f（x）在[0，1]上存在二阶不动点x0等价于f（x）=x在[0，1]上有解，…（9分）
即方程ex+x+a=x在[0，1]上有解，…（10分）
∴a=-ex在[0，1]上有解，…（11分）
由x∈[0，1]可得ex∈[1，e]，∴-ex∈[-e，-1]，
∴a的取值范围是[-e，-1]．      …（12分）

点评 本题考查二阶不动点的求法，考查x0也必是函数f（x）的一阶不动点的证明，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

练习册系列答案
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14．下列说法正确的是（　　）
A．“?x∈R，x2-1＞0”的否定是“?x0∈R，x02-1＜0”
B．若p∨q为真命题，则简单命题p与q都为真命题
C．“?x∈R，（x-1）2＞0”是一个真命题
D．“若x＞2，则x2-x-2≥0”的逆否命题是“若x2-x-2＜0，则x≤2”
17．2016年春节，“抢红包”称为社会热议的话题之一，某机构对春节期间用户利用手机“抢红包”的情况进行调查，如果一天内抢红包的总次数超过10次为“关注点高”，否则为“关注点低”，调查情况如表所示：
  关注点高关注点低  总计
 男性用户 x 5 
 女性用户 7 y 8
 总计 10 16 
（Ⅰ）填写如表中x、y的值并判断是否有95%以上的把握认为性别与关注点高低有关？
（Ⅱ）现要从上述男性用户中随机选出3名参加一项活动，以X表示选中的同学中抢红包总次数超过10次的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．
下面的临界值表供参考：
 P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
独立性检验统计量K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d．
14．根据下列条件，判断解三角形的情况
（1）a=14，b=16，A=45°；
（2）a=12，c=15，A=120°；
（3）a=8，b=16，A=30°；
（4）b=18，c=20，B=60°．
1．（1）已知cosα=$\frac{3}{5}$，α为锐角，求tan2α的值；
（2）已知sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，θ为钝角，求cosθ的值．
11．已知函数f（x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调增区间；
（Ⅱ）求函数y=f（4x+2π），x∈[0，$\frac{π}{2}$]的最大值、最小值．
18．计算：
（1）（1+i）（1-i）+（1+2i）2；
（2）$\frac{（3-2i）^{2}-3（1-i）}{2+i}$．
15．某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取20名男女用户，汇总数据如表
不满意满意合计
男145
女
合计20
由于部分数据丢失，根据原始资料只查得：从满意的人数中任意抽取2人，都是男生的概率是$\frac{2}{7}$．
（Ⅰ）根据条件完成以上2×2列联表，并据此判断有多大以上的把握认为“用户满意度”与性别有关．
（Ⅱ）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为X，求X的分布列和期望E（X）．
附：χΧ
2=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，
P（χ2≥k）0.1000.0500.0250.0100.0050.001
k2.7063.8415.0246.6357.87910.828
16．己知函数f（x）=x2+（a+1）x+b
（1）若函数在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）函数f（x）的图象过点（3，3）且满足f（x）≥x恒成立，求实数a，b的值．

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