Question

6．在公比为2的等比数列{a_n}中，a₂与a₅的等差中项是$9\sqrt{3}$．
（1）求a₁的值；
（2）若函数$y=|{a_1}|sin（\frac{π}{4}x+φ）（|φ|＜π）$的一部分图象如图所示，M（-1，|a₁|），N（3，-|a₁|）为图象上的两点，设∠MPN=β，其中P与坐标原点O重合，0＜β＜π，求sin（2φ-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用等差中项、等比数列的定义，求得a₁的值．
（2）由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，△MPN中，再利用余弦定理求得cosβ的值，再利用诱导公式即可求得sin（2φ-β）的值．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）设等边为q，由题可知${a_2}+{a_5}=18\sqrt{3}$，又a₅=8a₂，…（2分）
故${a_2}=2\sqrt{3}$，a₅=16$\sqrt{3}$=a₂q³，
解得：q=2，
∴a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\sqrt{3}$．  …（4分）
（2）∵$y=|{a_1}|sin（\frac{π}{4}x+φ）（|φ|＜π）$，M（-1，|a₁|）为图象上的点，
∴sin（-$\frac{π}{4}$+φ）=1，
又∵|φ|＜π，
∴φ=$\frac{3π}{4}$，…6分
如图，连接MN，在△MPN中，由余弦定理可得：$cosβ=\frac{{{{|{PM}|}^2}+{{|{PN}|}^2}-{{|{MN}|}^2}}}{{2|{PM}||{PN}|}}=\frac{4+12-28}{{8\sqrt{3}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵0＜β＜π，
∴$β=\frac{5}{6}π$，…（8分）
∴$2φ-β=\frac{3π}{2}-\frac{5π}{6}$，
∴$sin（{2φ-β}）=sin（{\frac{3π}{2}-\frac{5π}{6}}）=-cos\frac{5π}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（10分）

点评 本题主要考查等差中项、等比数列的定义，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查了余弦定理、诱导公式的应用，属于基础题．