Question

1．已知函数f（x）=e²，g（x）=x²+ax-2a²+3a，（a∈R），记函数h（x）=g（x）•f（x）．
（1）讨论函数h（x）的单调性；
（2）试比较e^f（x-2）与x的大小．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为比较${e^{{e^{x-2}}}}$与x，通过讨论x的范围，结合函数的单调性比较其大小即可．

解答 解：（1）h（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x，
所以h'（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax-2a²+3a）e^x=（x+2a）[x-（a-2）]e^x┉┉┉（2分）
①当$a＞\frac{2}{3}$时，则-2a＜a-2，在（-∞，a-2）和（-2a，+∞）上h'（x）＞0，h（x）是增函数；
在（-2a，a-2）上，h'（x）＞0，h（x）是减函数．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（4分）
②当$a＜\frac{2}{3}$时，则-2a＞a-2，在（-∞，a-2）和（-2a，+∞）上h'（x）＞0，h（x）是增函数；
在（a-2，-2a）上，h'（x）＞0，h（x）是减函数．
③当$a=\frac{2}{3}$时，$h'（x）={（{x+\frac{4}{3}}）^2}{e^x}≥0$恒成立，且h（x）图象连续不断，
所以h（x）在（-∞，+∞）是增函数．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
（2）${e^{f（{x-2}）}}={e^{{e^{x-2}}}}$，即比较${e^{{e^{x-2}}}}$与x大小．
①当x≤0时，显然有e^f（x-2）＞0≥x；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（7分）
②当x＞0时，lne^f（x-2）=e^x-2，即比较e^x-2与lnx大小．
设ϕ（x）=e^x-2-lnx，$ϕ'（x）={e^{x-2}}-\frac{1}{x}$，${（{ϕ'（x）}）^′}={e^{x-2}}+\frac{1}{x^2}＞0$，
所以ϕ'（x）在（0，+∞）递增，而ϕ'（1）＜0，ϕ'（2）＞0，
ϕ'（x）在（0，+∞）有位移的实数根x₀，且1＜x₀＜2，${e^{{x_0}-2}}=\frac{1}{x_0}$，
∴x₀-2=-lnx₀．ϕ（x）在（0，x₀）递减，在（x₀，+∞）递增，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（10分）
$ϕ（x）≥ϕ'（{x_0}）={e^{{x_0}-2}}-ln{x_0}=\frac{1}{x_0}+{x_0}-2=\frac{1}{x_0}{（{{x_0}-1}）^2}＞0$
即有ϕ'（x）=e^x-2-lnx＞0，即e^x-2＞lnx，即有e^f（x-2）＞x．
综上可得e^f（x-2）＞x．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（12分）
注：当x＞0时，要证ϕ（x）=e^x-2-lnx＞0，
也可转化为证：e^x-2≥x-1≥lnx（等号不能同时取到）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．